Question

证明：已知两个三角形三条中线对应相等，那么这两个三角形全等．

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：证明题

分析：分别过C，C'两点分别作AD和A′D′的平行线，分别交于BE和B′E′的延长线于G，G′点，利用重心的性质可证明△OGC≌△O'G'C'，进一步可证明△OEC≌△O′E′C′，可得出AC=A′C′，同理可证明BC=B′C′，AB=A′B′，可证得△ABC≌△A′B′C′．

解答：已知：在△ABC和△A′B′C′中，AD，BE，CF分别是△ABC的三条中线，相交于点O，A′D′，B′E′，C′F′分别是△A′B′C′的三条中线，相交于点O′，且AD=A′D′，BE=B′E′，CF=C′F′，
求证：△ABC≌△A′B′C′，
证明：分别过C，C'两点分别作AD和A′D′的平行线，分别交于BE和B′E′的延长线于G，G′点，
则AO=CG，A′O'=C′G′，BO=OG，B′O′=O′G′，
由已知条件AD=A′D′，BE=B′E′，CF=C′F′，
可得GC=G′C′，OG=O′G′，OC=O′C′
在△OGC和△O′G′C′中

GC=G′C′ OG=O′G′ OC=O′C′

∴△OGC≌△O'G'C'（SSS），
∴∠EOC=∠E′O′C′
在△OEC和△O′E′C′中，

OE=O′E′ ∠EOC=∠E′O′C′ OC=O′C′

∴△OEC≌△O′E′C′（SAS），
∴CE=C′E′，
∴AC=A′C′，
同理可证明AB=A′B′，B′C′，
在△ABC和△A′B′C′中

AB=A′B′ AC=A′C′ BC=B′C′

∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用条件构造三角形全等，证明出AC=A′C′是解题的关键，解题中注意重心的性质的利用．