Question

【题目】如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE．

（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；

（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；

（3）观察两图，你还可得出AC和DE相关的什么结论？请说明理由．

（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE//BC；DE=BC；（3）DE⊥AC；（4）M（1，1）或（-1，-1）或（9，5）．

【解析】

（1）根据图1的构图条件，在Rt△ABC内的任取一点P，作图即可；

（2）连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，

（3）由（2）得BC⊥AC，DE∥BC，所以DE也和AC垂直；

（4）以A、C、D、M为点构造成平行四边形的顶点顺序没定，故有三种情况：分别过点A，C，D作线段CD，AD，AC的平行线，三条直线的交点即为能以A、C、D、M为点构造成平行四边形的点M的位置，再利用平行四边形的性质及平移知识即可求得点M 的坐标

解：（1）作图如图2：

（2）观察图1，图2，猜想线段DE和线段BC数量和位置关系为：DE=BC，DE//BC；

选择图1，证明如下：

连接BE，

∵PM=ME，∠PMA=∠EMB，AM=MB，

∴△PMA≌△EMB．（SAS）

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，

∴PA∥DC，PA=DC．

∴BE∥DC，BE=DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．

∴DE∥BC，DE=BC．

（3）猜想DE⊥AC；理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

又∵DE∥BC，（已证）

∴DE⊥AC．

（3）如图3

分别过点A，C，D作线段CD，AD，AC的平行线,三条直线分别相交于点 ,则得到即为满足条件的点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形.理由如下：

∵AC//DM1，CD//AM1，

∴四边形ACDM1为平行四边形，

同理可得：四边形ACM2D为平行四边形，四边形ADCM3为平行四边形.

设M1的坐标为（x,y）,

由于四边形ACDM1为平行四边形，

∴AC//M1D,AC=M1D.可以看做线段AC经过适当的平移到线段M1D.

C与D为对应点，A与M1为对应点，

易知：点C(5,3)向左平移一个单位，向下平移一个单位得到D(4,2).

故点A也向左平移一个单位，向下平移一个单位得到M1(x,y),即

0-1=x，0-1=y，所以x=-1，y=-1.点M1的坐标为（-1，-1），同理可得

M2的坐标为（9,5），M3的坐标为（1,1）.

故存在M点，分别为（1，1）或（-1，-1）或（9，5）．使以A、C、D、M为点构造成平行四边形