Question

【题目】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，4)，在x轴上有一动点D9(m，0)（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，

（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．

（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．

（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；y＝﹣x+4；（2）m＝2，四边形ODEB为矩形；（3）

【解析】

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式和直线AB的解析式即可；

（2）可得E（m，），C（m，﹣m+4）．表示出EC的长，根据EC＝CD可得出关于m的方程，解方程求出m的值即可；

（3）在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．证明△M′OD′∽△D′OB，即可求解．

（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，

，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；

（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，

∴E（m，），C（m，﹣m+4）．

∴EC＝＝．

∵点C是DE的中点，

∴．

解得：m＝2，m＝4（舍去）．

∴ED＝OB＝4，

∴四边形ODEB为矩形．

（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上 取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．

∵OD′＝2，OM′OB＝1×4＝4，

∴OD′2＝OM′OB，

∴，

∵∠BOD′＝∠M′OD′，

∴△M′OD′∽△D′OB，

∴．

∴．

∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），

∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．