Question

阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是

 

cm；
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是

 

cm；
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是

 

cm．这两个圆的圆心距是

 

cm

Answer 1

分析：当一个图形被一个圆覆盖时，当圆是这个图形的外接圆时，圆最小；当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是1cm，则每个圆内的部分是一个边长是1的正方形．

解答：解：（1）以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值=

2

2

；

（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB=1，BD=

1

2

，
因为三角形是正三角形，
所以∠ABC=60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD=

1

2

OB，
设OA=OB=x，则OD=

1

2

x，
在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：x²=（

1

2

）²+（

1

2

x）²，
解得：x=

3

3

．


（3）如图：矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=

2

2

，两圆心距=1．

点评：正确理解什么情况下圆最小是解决本题的关键．