Question

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

证明：连接OA，OB，OC，BD．
∵OA⊥AP，AD⊥OP，
∴由射影定理可得：PA²=PD•PO，AD²=PD•OD．
又由切割线定理可得 PA²=PB•PC，
∴PB•PC=PD•PO，
∴D、B、C、O四点共圆，
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，
∴△PBD∽△COD，
∴，
∴BD•CD=PD•OD=AD²，
∴．
又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC，
∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD=∠ACD，
∴AB是△ADC的外接圆的切线，
∴∠BAE=∠ACB．…
分析：首先里射影定理得出PA²=PD•PO，AD²=PD•OD，进而得出PB•PC=PD•PO，即D、B、C、O四点共圆，再利用△PBD∽△COD得出BD•CD=PD•OD=AD²，由△BDA∽△ADC得出AB是△ADC的外接圆的切线，即可得出∠BAE=∠ACB．
点评：此题主要考查了四点共圆以及相似三角形的性质与判定和射影定理得出等知识，根据已知得出D、B、C、O四点共圆以及AB是△ADC的外接圆的切线是解题关键．