Question

19．如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，F为BC延长线上一点，CF=AE，M为BD上一点，直线EM交BC于N，且DM=DF．
（1）求∠DEF的度数；
（2）求证：EN平分∠BEF．

Answer 1

分析 （1）先根据SAS证明△ADE≌△CDF，得出DE=DF，∠ADE=∠CDF，证出∠EDF=∠ADC=90°，得出∠DEF=45°；
（2）先证DE=DM，得出∠DEM=∠DME，再由外角关系证出∠NEF=∠BEM，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCF=90°，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠A=∠DCF=90°}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠DEF=45°；
（2）证明：∵DM=DF，由（1）得DE=DF，
∴DE=DM，
∴∠DEM=∠DME，
∵∠DEM=∠DEF+∠NEF=45°+∠NEF，∠DME=∠ABD+∠BEM=45°+∠BEM，
∴∠NEF=∠BEM，
∴EN平分∠BEF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．