Question

【题目】已知四边形 ABCD 中， AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=1200，∠MBN=600，将∠MBN 绕点B 旋转．当∠MBN 旋转到如图的位置，此时∠MBN 的两边分别交 AD、DC 于 E、F，且AE≠CF.延长 DC 至点 K，使 CK=AE，连接BK．

求证：（1）△ABE≌△CBK；（2）∠KBC+∠CBF=600 ；（3）CF+AE=EF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】分析：（1）根据已知条件可以利用SAS证明△ABE≌△CBK；（2）由（1）可得∠KBF=∠EBF=60°，即∠KBC+∠CBF=60°；（3）再证明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可证AE+CF=EF．

本题解析:

证明：（1）∵AB⊥AD,BC⊥CD

∴∠BAE=∠BCK=90°

又∵AB=BC,AE=CK

∴△ABE≌△CBK

（2）由（1）可知△ABE≌△CBK

∴∠KBC=∠EBA,

又∵∠ABC=120°，∠MBN=60°

∴∠CBF+∠ABE=60°

∴∠KBC+∠CBF=60°

（3）由（1）可知△ABE≌△CBK,∴BK=BE

又∵∠KBF=∠MBN=60°，BF=BF,∴△BKF≌△BEF

∴KF=EF

又∵KF=KC+CF,CK=AE

∴CF+AE=EF