Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4$\sqrt{5}$，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；
（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，DB=4，
∵4²+8²=（4$\sqrt{5}$）²，
∴DB²+CD²=BC²，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=60°+90°=150°；

（2）过B作BE⊥AD，
∵∠A=60°，AB=4，
∴BE=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$AD•EB+$\frac{1}{2}$DB•CD=$\frac{1}{2}$×4×$2\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×4×8=4$\sqrt{3}$+16．

点评 此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．