Question

12．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为AB边上一点，连结CD，CD绕点C逆时针旋转90度与线段CE重合，连结AE．
（1）填空：∠B=45度；∠BCD=∠ACE（在图中找出一个与∠BCD相等的角）．
（2）求证：△BCD≌△ACE．
（3）当AB=2CE时，求证：CD垂直平分AB．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出∠B的度数和旋转的性质得出∠BCD=∠ACE即可；
（2）根据旋转的性质和SAS证明三角形全等即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定解答即可．

解答 解：（1）∵在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠B=45°；
∵CD绕点C逆时针旋转90度与线段CE重合，
∴∠DCE=90°，
即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE；
故答案为：45；ACE；
（2）∵CD绕点C逆时针旋转90度与线段CE重合，
∴CD=CE，
又由（1）可知，∠BCD=∠ACE，
∵CA=CB，
在△BCD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ECA}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE；
（3）∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠CAB=90°，
设AD=a，CE=b，则AB=2CE=2b，DC=CE=b，
∴△ECD为等腰直角三角形
又△ADE为直角三角形
∴DE²=CD²+CE²=2b²，AE²=DE²-AD²=2b²-a²
又∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=AB-AD=2b-a，
∴2b²-a²=（2b-a）²
  化简得：a²-2ab+b²=0
∴（a-b）²=0
∴a=b，
∴BD=2b-a=a=AD，
∴D为AB中点，
又∵△ABC为等腰直角三角形．
∴CD垂直平分AB．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△BCD是解决问题的关键．