Question

1．如图，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；
（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求得关于x的方程x²-2x-3=0的解即为点A、B的横坐标；
（2）设P（x，x²-2x-3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，-4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=$\sqrt{2}$，CB=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$；所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，则易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；
（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．构建全等三角形：△EOM≌△FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：
∠OBF=120°为定值，即BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度．

解答 解：（1）令y=0，得x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）

（2）设P（x，x²-2x-3），
如图1，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．
连接BP，设∠NBP=∠CDB．
令x=0，得y=x²-2x-3=-3，
∴C（0，-3）
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
由勾股定理，得CD=$\sqrt{2}$，CB=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$．
∴BD²=BC²+CD²，
∴∠BCD=90°．
∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．
∴△BCD∽△PNB．
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{NB}{CD}$，
$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{\sqrt{2}}$，即x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3（不合题意，舍去）．
∴当x=2时，y=-3
∴P（2，-3）；

（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．
过点B，F作直线交对称轴于点G．
由题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{OM=BM}\\{ME=MF}\\{∠OME=∠BMF}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△FBM，
∴∠MBF=∠MOB=60°．
∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值，
∴BF所在直线为定直线．
过D点作DK⊥BF，K为垂足．
在Rt△BGH中，∠HBG=180°-120°=60°，
∴∠HGB=30°．
∵HB=3，
∴BG=4，HG=2$\sqrt{3}$．
∵D（1，-4），
∴DH=4，
∴DG=2$\sqrt{3}$+4．
在Rt△DGK中，∠DGK=30°．
∴DK=$\frac{1}{2}$DG=2+$\sqrt{3}$．
∵当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，
则GF=4+1=5．
而GK=$\sqrt{3}$DK=3+2$\sqrt{3}$＞5，即点K在点F运动的路径上，
所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题．需要掌握抛物线与x轴的交点坐标，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识点，难度较大，主要考查学生数形结合的数学思想方法．