Question

12．已知关于x的方程x²-6x+3m-2=0
（1）若方程有两个正根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都大于1，求m的取值范围；
（3）若方程的两个根一个大于1，一个小于1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系得到x₁x₂＜0，此时方程一定有实数解，然后解不等式即可；
（2）若方程的两个根都大于1，即（x₁-1）和（x₂-1）同号，且和大于0，根据根与系数的关系列不等式解得；
（3）方程的两个根一个大于1，一个小于1，即x₁-1和x₂-1异号，利用根与系数的关系列不等式求解．

解答 解：∵x²-6x+3m-2=0，
∴△=36-4（3m-2）=44-12m，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=3m-2．
（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{44-12m＞0}\\{3m-2＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{11}{3}$；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{44-12m＞0}\\{{1}^{2}-6×1+3m-2＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{7}{3}$＜m＜$\frac{11}{3}$；
（3）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{44-12m＞0}\\{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）=3m-7＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＜$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关k的不等式组是解答本题的关键．