Question

17．已知抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m＜0，直线y=kx-1经过点A并与y轴交于点D，且AD•BD=5$\sqrt{2}$，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A，B两点，即抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求解；
（2）首先解方程，利用m表示出AD和BD的长，根据AD•BD=5$\sqrt{2}$，列方程求得m的值，进而求得解析式．

解答 解：（1）由于抛物线与x轴交于A、B两点，所以△＞0，
即：（m-4）²+12（m-1）＞0
m²+4m+4＞0
（m+2）²＞0
解得m≠-2
m≠-2即为所求；
（2）由题易得D（0，-1），
设A（a，0），B（b，0），
y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中令y=0，
则-x²-（m-4）x+3（m-1）=0，即（x-3）（x+m-1）=0，
∴x₁=3，x₂=1-m．
则不妨设AD=$\sqrt{10}$，则BD=$\sqrt{1+（1-m）^{2}}$，
∵AD•BD=5$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{10}$•$\sqrt{1+（1-m）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴（m+1）（m-3）=0，
解得m=-1或3，因为m＜0，故舍去3
所以m=-1．
所以抛物线的解析式为y=-x²+5x-6．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的根．