Question

4．直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$交x轴于点C，交y轴于点A，把等腰三角板OBD的顶点D与点C重合，然后把三角板绕点O按顺时针方向旋转α度，使顶点B恰好落在AC上的点B处，则α=30°．

Answer 1

分析 如图，作OE⊥AC于E，利用一次函数解析式可确定A（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），C（2，0），则利用勾股定理得到AC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则∠ACO=30°，所以OE=$\frac{1}{2}$OC=1，∠EOC=60°，由△OBD为等腰直角三角形得到OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=$\sqrt{2}$，∠BOD=45°，再根据旋转的性质得OB′=OB=$\sqrt{2}$，∠BOB′=α，接着在Rt△OEB′中，由OE=1，OB′=$\sqrt{2}$可得∠EOB′=45°，于是可计算出∠B′OC=15°，所以∠BOB′=∠BOC-∠B′OC=30°．

解答 解：如图，作OE⊥AC于E，
当x=0时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则A（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
当y=0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=0，解得x=2，则C（2，0），
∵OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=1，∠EOC=60°，
∵△OBD为等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=$\sqrt{2}$，∠BOD=45°，
∵△BOD绕点O旋转使点B落在直线AC的点B′处，
∴OB′=OB=$\sqrt{2}$，∠BOB′=α，
在Rt△OEB′中，∵OE=1，OB′=$\sqrt{2}$，
∴∠EOB′=45°，
∴∠B′OC=60°-45°=15°，
∴∠BOB′=∠BOC-∠B′OC=30°，
即α=30°．
故答案为30°．

点评 本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．