Question

【题目】某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大?最大值是多少?

（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?

Answer 1

【答案】（1）；（2）当x=85元时，年获利最大值为80万元；（3）销售单价定为70元

【解析】

（1）根据函数图像，可得两点坐标，利用待定系数法求得y关于x的函数解析式；

（2）依据题意，年利润=单件利润×销量－年总开支，将y用x表示，可得出w与x的二次函数关系，再利用配方法得到最值；

（3）令二次函数的w的值大于等于57.5，求得x的取值范围，根据要使销量最大，确定最终x的值．

（1）根据函数图像，有点(70，5)和(90，3)

设函数解析式为：y=kx+b

则5=70x+b，3=90x+b

解得：k=，b=12

∴y=

（2）根据题意：w=(x-40)

化简得：w=

变形得：w=

∴当x=85时，可取得最大值，最大值为：80

（3）根据题意，则w≥57.5

化简得：≥0

(－x+70)(x－100)≥0

70≤x≤100

∵要使销量最多，∴x=70