Question

10．如图，C是线段AB上的点，△CDB和△ADE分别是边长为2和3等边三角形，则△ABE的面积是$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根据△ADE和△BCD都是等边三角形，得到DA=DE，BC=DB，∠ADE=∠CDB=60°，∠ADC=∠EDB，证得三角形全等，得到面积相等，通过面积的和差得到要求得三角形的面积正好是两个等边三角形的面积差，即S_△ABE=S_△ADE-S_△CDB，这样问题得解．

解答 解：∵△ADE和△BCD都是等边三角形，
∴DA=DE，BC=DB，∠ADE=∠CDB=60°，
∴∠ADC=∠EDB，
在△ADC与△EDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADC=∠EDB}\\{DC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EDB，
∴S_△ADC=S_△EDB，
∵S_{四边形ADBE}=S_△ADE+S_△EDB，
∴S_△ABE=S_{四边形ADBE}-S_△ADC-S_△CDB=S_△ADE-S_△CDB，
∵AD=3，BD=2，
∴AD边上的高=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BD边上的高=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理得应用，三角形的面积的求法，关键是通过面积的和差求结果．