Question

如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD交圆于点E，过点C作AE的平行线交圆于点F，连接EF，交AB于H，AC，EF的延长线相较于G
（1）求证：HE²=HF•HG；
（2）HE=4，GF=

7

3

，求FH的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）首先连接CH、CF，由四边形AEFC是圆内接四边形，过点C作AE的平行线交圆于点F，易证得∠AEF=∠CAE，继而证得∠2=∠G，即可证得△HCF∽△HGC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得HE²=HF•HG；
（2）由HE²=HF•HG，可得EH²=HF（HF+FG），即可求得答案．

解答：（1）证明：连接CH、CF，
∵四边形AEFC是圆内接四边形，
∴∠3=∠AEF，
∵CF∥AE，
∴∠3=∠CAE，
∴∠AEF=∠CAE，
∴∠G=180°-2∠CAE，
∵∠2=180°-∠3-∠ACH，∠ACH=∠CAE=∠3，
∴∠2=∠G，
∵∠1=∠1，
∴△HCF∽△HGC，
∴CH：HG=HF：CH，
∴CH²=HF•HG，
∵CH=EH，
∴EH²=HF•HG，

（2）∵EH²=HF•HG，
∴EH²=HF（HF+FG），
∵HE=4，GF=

7

3

，
∴3HF²+7HF-48=0，
∴FH=3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．