Question

已知，如图1，△ABD和△ACE都是等腰三角形，BA=BD，AC=AE，∠ABC=∠ABD=∠CAE，过点D作DF∥AE交AB于F，连接EF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若B，C，E三点在同一直线上，如图2，试探索四边形ADFE是何种特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据平行线的性质得出∠EAF=∠DFA，求出∠BAC=∠BDF，根据ASA推出△BDF≌△BAC，根据全等得出DF=AC，求出DF=AE，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠BAC=∠BEC，根据AAS推出△ABC≌△EBF，根据全等得出AC=EF，求出EF=AE，根据菱形的判定得出即可．

解答：（1）证明：∵DF∥AE，
∴∠EAF=∠DFA，
∵∠EAB=∠CAE+∠BAC，∠DFA=∠BDF+∠ABD，
∴∠BAC=∠BDF，
在△BDF和△BAC中，

∠BDF=∠BAC BD=AB ∠DBF=∠ABC

，
∴△BDF≌△BAC（SAS），
∴DF=AC，
∵AC=AE，
∴DF=AE，
∵DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；

（2）解：四边形ADFE是菱形，
理由是：∵△BDF≌△BAC，
∴∠DFB=∠BCA，BF=BC，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=∠ABC+∠BAC，
∵∠DFB+∠DFA=180°，∠BCA+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠AFD，
∵∠EAF=∠ADF，
∴∠EAF=∠ACE=∠AEC，
∴∠BAC=∠BEC，
在△ABC和△EBF中，

∠BAC=∠BEF ∠ABC=∠EBF BC=BF

，
∴△ABC≌△EBF（AAS），
∴AC=EF，
∵AC=AE，
∴EF=AE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．