Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB＝2，AC＝2，求四边形AODE的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形AODE的周长为2+2．

【解析】

（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD=90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；

（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的性质即可得出答案．

（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOD＝90°，

∴四边形AODE是矩形；

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴AO＝AC＝1，OD＝OB，

∵∠AOB＝90°，

∴OB＝，

∴OD＝，

∵四边形AODE是矩形，

∴DE＝OA＝1，AE＝OD＝，

∴四边形AODE的周长＝2+2．