Question

6．已知a+$\frac{3}{a}$=4，求a²-$\frac{9}{{a}^{2}}$=±8．

Answer 1

分析 先根据已知条件a+$\frac{3}{a}$=4，求得（a-$\frac{3}{a}$）²=4，进而得到a-$\frac{3}{a}$=±2，最后根据a²-$\frac{9}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{3}{a}$）（a-$\frac{3}{a}$），进行计算即可．

解答 解：∵a+$\frac{3}{a}$=4，
∴（a+$\frac{3}{a}$）²=16，即a²+6+$\frac{9}{{a}^{2}}$=16，
∴a²-6+$\frac{9}{{a}^{2}}$=4，即（a-$\frac{3}{a}$）²=4，
∴a-$\frac{3}{a}$=±2，
∴当a-$\frac{3}{a}$=2时，a²-$\frac{9}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{3}{a}$）（a-$\frac{3}{a}$）=4×2=8；
当a-$\frac{3}{a}$=-2时，a²-$\frac{9}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{3}{a}$）（a-$\frac{3}{a}$）=4×（-2）=-8；
即a²-$\frac{9}{{a}^{2}}$=±8，
故答案为：±8．

点评 本题主要考查了分式的加减法以及乘法公式的运用，解题时注意：应用平方差公式计算时，应注意公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式等．本题也可以直接通过解分式方程求得a的值．