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【题目】如图所示,某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角为45°,信号塔低端Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到处,测得信号塔顶端P的仰角为68°.求信号塔PQ的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin68°≈ 0.93,cos68° ≈ 0.37,tan68° ≈ 2.48,tan31° ≈ 0.60,sin31° ≈ 0.52,cos31°≈0.86)

【答案】信号塔PQ的高度约为67.0米

【解析】延长PQ交直线AB于点E,连接AQ,设PM的长为x米,先由三角函数得出方程求出PM,再由三角函数求出QM,得出PQ的长度即可.

解:延长PQ交直线AB于点M

则∠PMA=90°,设PM的长为x米,根据题意,

得∠PAM=45°,∠PBM=68°,∠QAM=31°,

AB=100,∴在Rt△PAM中,AMPMx

BMAM-ABx-100,

在Rt△PBM中,∵tan∠PBM

即tan68°=

解得x ≈ 167.57.∴AMPM ≈ 167.57.

在Rt△QAM中,∵tan∠QAM

QMAM·tan∠QAM=167.57×tan31°≈100.54.

PQPM-QM=167.57100.54≈67.0(米).

因此,信号塔PQ的高度约为67.0

“点睛”本题考查直角三角形的应用、三角函数;由三角函数得出方程是解决问题的关键,注意掌握当两个直角三角形有公共边时,先求出这条公共边的边长是解答此类题的一般思路.

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