Question

9．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=20，点P在边CD上，且与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若△PCQ的面积为100，求DP长；
（3）若BM的长为3$\sqrt{5}$，求DP长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）设PD=x，则PC=DC-DP=20-x，根据相似三角形的性质得到BQ=2x，由△PCQ的面积为100列方程即可得到结论；
（3）作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°，根据相似三角形的性质得到$\frac{MN}{PC}$=$\frac{QN}{QC}$=$\frac{QM}{QP}$=$\frac{1}{2}$，根据三角形的中位线的性质得到N为CQ的中点，由于PC=DC-DP=20-x根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：设PD=x，则PC=DC-DP=20-x，
∵△ADP∽△ABQ
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{BQ}$，
∴$\frac{10}{20}$=$\frac{x}{BQ}$，
∴BQ=2x，
∵△PCQ的面积为100，
∴$\frac{1}{2}$（20-x）•（2x+10）=100，
∴x=15，
∴PD=15；

（3）解：作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴$\frac{MN}{PC}$=$\frac{QN}{QC}$=$\frac{QM}{QP}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M为PQ的中点，
∴N为CQ的中点，
又∵PC=DC-DP=20-x
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（20-x），QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），
∵BQ=2x，
∵QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10）=$\frac{1}{2}$（2x+10）=x+5，
∴BN=QB-QN=2x-（x+5）=x-5，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=[$\frac{1}{2}$（20-x）]²+（x-5）²，
∵BM=3$\sqrt{5}$，
∴x=8，
∴PD=8．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．