Question

9．如图，D是AC的中点，E，F是BC的三等分点，设BG=x，GH=y，HD=z，则x：y：z=5：3：2．

Answer 1

分析 作DM∥BC交AE于M，交AF于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，由DN∥CF得$\frac{DN}{CF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，由DN∥BF得$\frac{DH}{BH}$=$\frac{DN}{BF}$，于是有$\frac{DN}{2CF}$=$\frac{z}{x+y}$=$\frac{1}{4}$，则x+y=4z，同样方法可得x=y+z，然后解方程组得到x=$\frac{5}{2}$z，y=$\frac{3}{2}$z，
最后计算x、y和z的比值．

解答 解：作DM∥BC交AE于M，交AF于N，如图，
∵DN∥CF，
∴$\frac{DN}{CF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵DN∥BF，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{DN}{BF}$，
而BF=2CF，
∴$\frac{DN}{2CF}$=$\frac{z}{x+y}$=$\frac{1}{4}$，
∴x+y=4z①，
∵DM∥CE，
∴$\frac{DM}{CE}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵DM∥BE，
∴$\frac{DM}{BE}$=$\frac{DG}{BG}$，
而BE=$\frac{1}{2}$CE，
∴$\frac{DE}{\frac{1}{2}CE}$=$\frac{y+z}{x}$=1，
∴x=y+z②，
由①②得x=$\frac{5}{2}$z，y=$\frac{3}{2}$z，
∴x：y：z=$\frac{5}{2}$z：$\frac{3}{2}$z：z=5：3：2．
故答案为5：3：2．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．