Question

8．如图，抛物线y=ax²+$\frac{5}{2}x-2$与x轴相交于点A（1，0）与点B，与y轴相交于点C．
（1）确定抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，△AOC与△COB相似吗？并说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点M，使得以点N、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出对应的点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（1，0）代入抛物线的解析式求出a的值即可；
（2）求出A、B两点的坐标，再由$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，∠COA=∠BOC可得出结论；
（3）分AB为平行四边形的对角线与AB为平行四边形的边两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵把A（1，0）代入得：a+$\frac{5}{2}$-2=0，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）相似．
∵令-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=0，解得x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）．
∵x=0时，y=-2，
∴C（0，-2）．
∴OC=2，OA=1，OB=4
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
又∵∠COA=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB；

（3）存在．
对称轴为x=$\frac{5}{2}$，交x轴于点Q，顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）．
①如图1，AB为对角线，若四边形AMBN为平行四边形，
则QM=QN，
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$），N（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{8}$）；
②如图2，AB为一边，若四边形ABMN为平行四边形，则MN∥AB，MN=AB=3，
设N（2.5，n）则有M（-0.5，n）或（5.5，n）
将M坐标代入解析式：n=-$\frac{27}{8}$．
综上所述，M（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$），N（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{8}$）或M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{27}{8}$），N（$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{8}$）或M（5.5，-$\frac{27}{8}$），N（$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{8}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．