Question

20．将点A（4，0）绕原点顺时针旋转30°得A₁，再将点A₁绕原点顺时针旋转30°得A₂，再将点A₂绕原点顺时针旋转30°得A₃，每次都将得到的点绕原点顺时针旋转30°，得到的点依次记为A₁、A₂、A₃…、A_n，则A₁₀₀的坐标是（-2，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由100×30°=8×360°+120°可得点A₁₀₀在第三象限，与x轴的正半轴成120°角，过点A₁₀₀作AH⊥x轴于H，根据三角形外角的性质可得∠HA₁₀₀O=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半可求出OH，然后根据勾股定理可求出A₁₀₀H，结合点A₁₀₀所在的象限就可求出点A₁₀₀的坐标．

解答 解：由100×30°=8×360°+120°可得，
点A₁₀₀在第三象限，
此时∠A₁₀₀OB=120°．
过点A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AHO中，∠HAO=120°-90°=30°，
∴HO=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴AH=$\sqrt{O{A}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴A₁₀₀的坐标是（-2，-2$\sqrt{3}$）．
故答案为（-2，-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形的变化、三角形外角的性质、30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，需要注意的是根据相关线段的长度写点的坐标时，要根据点所在的象限确定纵横坐标的符号．