Question

15．如图，已知线段CD、CB分别与⊙O相切于D、B两点，线段CD的延长线与直径BE的延长线交于点A，连接DE．
（1）求证：∠C=2∠ADE；
（2）若$\frac{OE}{OA}$=$\frac{3}{5}$，且BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图所示：连接OD、OC，先证明Rt△COD≌Rt△COB，∠DOC=∠BOC，然后由OD=OE，得到∠DEO=∠EDO，结合三角形外角的性质可知∠DE0=∠COB，从而得到DE∥OC，由平行线的性质可知∠DCO=∠ADE，故此∠C=2∠ADE；
（2）先证明△AOD∽△ACB，由相似三角形的性质可知$\frac{OA}{OD}=\frac{AC}{BC}$，从而可求得AC=10，AD=4，在Rt△AOD中，由勾股定理得列方程求解即可．

解答 解：（1）如图所示：连接OD、OC．

∵线段CD、CB分别与⊙O相切于D、B两点，
∴OD⊥AC，OB⊥BC．
在Rt△COD和Rt△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴Rt△COD≌Rt△COB．
∴∠DOC=∠BOC．
∵OD=OE，
∴∠DEO=∠EDO．
∵∠DEO+∠EDO=∠DOC=∠BOC．
∴∠DE0=∠COB．
∴DE∥OC．
∴∠DCO=∠ADE．
∴∠C=2∠ADE．
（2）设OE=OD=3x，则OA=5x．
∵∠A=∠A，∠ODA=∠CBA，
∴△AOD∽△ACB．
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{3x}{5x}=\frac{6}{AC}$，
解得：AC=10．
∵DC=BC=6，
∴AD=4．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO²=AD²+OD²，即：（5x）²=（3x）²+4²，
解得：x=1或x=-1（舍去）．
∴OE=3．
∴⊙O的半径为3．

点评 本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，由相似三角形的性质求得AC=10，AD=4是解题的关键．