Question

2．已知函数y=y₁+y₂，其中y₁与x²+2成正比例，y₂与x-2成反比例，且当x=1时，y=6；当x=-1时，y=8．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）求当x=5时，y的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意设出函数关系式，把“x=1时，y=6；当x=-1时，y=8”代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）将x的值代入（1）中的函数解析式即可求得相应的y值．

解答 解：∵y₁与x²+2成正比例，
∴y₁=k₁（x²+2），（k₁≠0），
∵y₂与x-2成反比例，
∴y₂=$\frac{{k}_{2}}{x-2}$，（k₂≠0）；
∴y=y₁+y₂=k₁（x²+2）+$\frac{{k}_{2}}{x-2}$，
∵当x=1时，y=6；当x=-1时，y=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=3{k}_{1}-{k}_{2}}\\{8=3{k}_{1}-\frac{1}{3}{k}_{2}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=3}\\{{k}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴y=3（x²+2）+$\frac{3}{x-2}$；

（2）当x=5时，y=3（25+2）+$\frac{3}{5-2}$=82．

点评 此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1和反比例函数解析式的一般式y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件．