Question

17．已知等腰直角三角形ABC斜边BC的长为2，△DBC为等边三角形，那么A，D两点的距离为$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 分两种情况：①连接AD，由等边三角形等腰三角形的性质得出AD垂直平分BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=$\frac{1}{2}$BC=1，由勾股定理求出DE，即可得出AD；②由①得：DE=$\sqrt{3}$，AE=1，AD=DE=AD，即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①如图1所示：
连接AD，交BC于E，
∵△DBC为等边三角形，
∴BD=CD=BC=2，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=1，∠DEB=90°，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AD=DE+AE=$\sqrt{3}$-1；
②如图2所示：
由①得：DE=$\sqrt{3}$，AE=1，
∴AD=DE=AD=$\sqrt{3}$-1；
综上所述：A，D两点的距离为$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1；
故答案为：$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出DE是解题的关键．