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【题目】如图A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.
(1)求证:CD是半圆O的切线;
(2)求 的比值;若DH=6,求EF和半径OA的长.

【答案】
(1)解:连接OB,

∵OA=OB=OC,

∵四边形OABC是平行四边形,

∴AB=OC,

∴△AOB是等边三角形,

∴∠AOB=60°,

∵∠FAD=15°,

∴∠BOF=30°,

∴∠AOF=∠BOF=30°,

∴OF⊥AB,

∵CD∥OF,

∴CD⊥AD,

∵AD∥OC,

∴OC⊥CD,

∴CD是半圆O的切线


(2)解:∵BC∥OA,

∴∠DBC=∠EAO=60°,

∴BD= BC= AB,

∴AE= AD,

∵EF∥DH,

∴△AEF∽△ADH,

= =

∵DH=6,

∴EF=2,

∵OF=OA,

∴OE=OA﹣2

∵∠AOE=30°,

解得:OA=8+4


【解析】(1)连接OB,根据已知条件得到△AOB是等边三角形,得到∠AOB=60°,根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根据平行线的性质得到OC⊥CD,由切线的判定定理即可得到结论;(2)根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD= BC= AB,推出AE= AD,根据相似三角形的性质得到 = ,求得EF=2,根据直角三角形的性质即可得到结论.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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