Question

【题目】（12分）如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB、ACGF，

连接DC、BF。（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

（1）观察图形，利用旋转的观点说明：

△ADC绕着点__ ___逆时针旋转___ __°得到△ABF。

（2）猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．

（3）若CD与BF相交于点M，求∠AMF的度数。

Answer 1

【答案】（1）△ADC绕着点__A _逆时针旋转_90_°得到△ABF；

（2）CD⊥BF，CD=BF，证明见解析；

（3）∠AMF=450

【解析】（1）因为AD=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC绕A点逆时针旋转90°得到；
（2）要求两条线段的长度关系，把两条线段放到两个三角形中，利用三角形的全等求得两条线段相等；根据全等三角形的对应角相等以及直角三角形的两锐角互补，即可证得∠NMC=90°，可证得证BF⊥CD；

（3）过点A作CD、BF的垂线段，即可求出∠AMF的度数．
解：（1）根据正方形的性质可得：AD=AB，AC=AF，
∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ADC可看作△ABF绕A点逆时针旋转90°得到．
故答案为：A逆时针，90°；

（2）DC=BF，DC⊥BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACGF，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
在△DAC和△FAB中，

AD=AB，∠DAC=∠FAB，AC=AF，

∴△DAC≌△FAB（SAS），
∴DC=FB，∠AFN=∠ACD，
又∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF=90°，∠ANF=∠CNM，
∴∠ACD+∠CNM=90°，
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD，
即CD与BF的数量关系是BF=CD和位置关系是BF⊥CD．

（3）过点A作CD、BF的垂线段，并证明相等

得出MA平分∠DMF，则∠AMF=45°． .

“点睛”本题考查了旋转的性质，正方形的性质及三角形全等的性质，关键是根据图形中两个三角形的位置关系解题．