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【题目】(12)如图,在RtABC中,ACB90°AC8BC6CDAB于点D.P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.

(1)求线CD的长;

(2)CPQ的面积为S,求St之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得SCPQSABC9100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;

(3)t为何值时,CPQ为等腰三角形?

【答案】(148;(2t=t=3;(3t=24秒或秒或秒.

【解析】试题分析:(1)利用勾股定理可求出AB长,再用等积法就可求出线段CD的长.

2)过点PPHAC,垂足为H,通过三角形相似即可用t的代数式表示PH,从而可以求出St之间的函数关系式;利用=9100建立t的方程,解方程即可解决问题.

3)可分三种情况进行讨论:由CQ=CP可建立关于t的方程,从而求出t;由PQ=PCQC=QP不能直接得到关于t的方程,可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似,即可建立关于t的方程,从而求出t

试题解析:(1)如图1∵∠ACB=90°AC=8BC=6

∴AB=10

∵CD⊥AB

SABC=BC·AC=AB·CD

CD===4.8

线段CD的长为4.8

2过点PPH⊥AC,垂足为H,如图2所示.

由题可知DP=tCQ=t

CP=4.8﹣t

∵∠ACB=∠CDB=90°

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B

∵PH⊥AC

∴∠CHP=90°

∴∠CHP=∠ACB

∴△CHP∽△BCA

PH=

=CQ·PH==

存在某一时刻t,使得=9100

=×6×8=24,且=9100

):24=9100

整理得:5t2﹣24t+27=0

即(5t﹣9)(t﹣3=0

解得:t=t=3

∵0≤t≤4.8

t=秒或t=3秒时, =9100

3)存在

CQ=CP,如图1

t=4.8﹣t

解得:t=2.4

PQ=PC,如图2所示.

∵PQ=PCPH⊥QC

QH=CH=QC=

∵△CHP∽△BCA

解得;t=

QC=QP

过点QQE⊥CP,垂足为E,如图3所示.

同理可得:t=

综上所述:当t2.4秒或秒或秒时,CPQ为等腰三角形.

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