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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=100cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤25).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.

(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.

【答案】
(1)证明:由题意得:AE=2t,CD=4t,

∵DF⊥BC,

∴∠CFD=90°,

∵∠C=30°,

∴DF= CD= ×4t=2t,

∴AE=DF;

∵DF⊥BC,

∴∠CFD=∠B=90°,

∴DF∥AE,

∴四边形AEFD是平行四边形


(2)证明:四边形AEFD能够成为菱形,理由是:

由(1)得:AE=DF,

∵∠DFC=∠B=90°,

∴AE∥DF,

∴四边形AEFD为平行四边形,

AEFD为菱形,则AE=AD,

∵AC=100,CD=4t,

∴AD=100﹣4t,

∴2t=100﹣4t,

t=

∴当t= 时,四边形AEFD能够成为菱形;


(3)证明:分三种情况:

①当∠EDF=90°时,如图3,

则四边形DFBE为矩形,

∴DF=BE=2t,

∵AB= AC=50,AE=2t,

∴2t=50﹣2t,

t=

②当∠DEF=90°时,如图4,

∵四边形AEFD为平行四边形,

∴EF∥AD,

∴∠ADE=∠DEF=90°,

在Rt△ADE中,∠A=60°,AE=2t,

∴AD=t,

∴AC=AD+CD,

则100=t+4t,

t=20,

③当∠DFE=90°不成立;

综上所述:当t为 或20时,△DEF为直角三角形


【解析】(1)根据时间和速度表示出AE和CD的长,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t,则AE=DF,再证明,AE∥DF即可解决问题.(2)根据(1)的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形,如果四边形AEFD能够成为菱形,则必有邻边相等,则AE=AD,列方程求出即可;(3)当△DEF为直角三角形时,有三种情况:①当∠EDF=90°时,如图3,②当∠DEF=90°时,如图4,③当∠DFE=90°不成立;分别找一等量关系列方程可以求出t的值.

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