【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=100cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤25).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】
(1)证明:由题意得:AE=2t,CD=4t,
∵DF⊥BC,
∴∠CFD=90°,
∵∠C=30°,
∴DF= CD= ×4t=2t,
∴AE=DF;
∵DF⊥BC,
∴∠CFD=∠B=90°,
∴DF∥AE,
∴四边形AEFD是平行四边形
(2)证明:四边形AEFD能够成为菱形,理由是:
由(1)得:AE=DF,
∵∠DFC=∠B=90°,
∴AE∥DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
若AEFD为菱形,则AE=AD,
∵AC=100,CD=4t,
∴AD=100﹣4t,
∴2t=100﹣4t,
t= ,
∴当t= 时,四边形AEFD能够成为菱形;
(3)证明:分三种情况:
①当∠EDF=90°时,如图3,
则四边形DFBE为矩形,
∴DF=BE=2t,
∵AB= AC=50,AE=2t,
∴2t=50﹣2t,
t= ,
②当∠DEF=90°时,如图4,
∵四边形AEFD为平行四边形,
∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°,
在Rt△ADE中,∠A=60°,AE=2t,
∴AD=t,
∴AC=AD+CD,
则100=t+4t,
t=20,
③当∠DFE=90°不成立;
综上所述:当t为 或20时,△DEF为直角三角形
【解析】(1)根据时间和速度表示出AE和CD的长,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t,则AE=DF,再证明,AE∥DF即可解决问题.(2)根据(1)的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形,如果四边形AEFD能够成为菱形,则必有邻边相等,则AE=AD,列方程求出即可;(3)当△DEF为直角三角形时,有三种情况:①当∠EDF=90°时,如图3,②当∠DEF=90°时,如图4,③当∠DFE=90°不成立;分别找一等量关系列方程可以求出t的值.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,我国两艘海监船,在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时,船在船的正南方向5海里处,船测得渔船在其南偏东方向,船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时,船的航速为25海里/小时,问船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:,,,)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本题满分10分)
由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销.某药店准备购进一批口罩,已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元;3个A型口罩和2个B型口罩共需29元.
⑴ 求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元?
⑵ 药店准备购进这两种型号的口罩共50个,其中A型口罩数量不少于35个,且不多于B型口罩的3倍,有哪几种购买方案,哪种方案最省钱?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知y关于x的一次函数y=(2m2﹣32)x3﹣(n﹣3)x2+(m﹣n)x+m+n.
(1)若该一次函数的y值随x的值的增大而增大,求该一次函数的表达式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象;
(2)若该一次函数的图象经过点(﹣2,13),求该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .
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