Question

（2010•邢台一模）如图所示，一圆柱高AB为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线．

方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种方案：
图1是方案一的示意图，该方案中的移动路线的长度为l₁，则l₁=5+2a（cm）；
图2是方案二的示意图，设l₂是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度，则l₂=

25+π2a2

cm（保留π）．
计算探究

①当a=3时，比较大小：l₁

＞

 l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
②当a=4时，比较大小：l₁

＜

 l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
延伸拓展
在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm．高为hcm．
①若l₁²=l₂²，求h与r之间的关系；
②假定r取定值，那么h取何值时，l₁＜l₂？
③假定r取定值，那么h取何值时，l₁＞l₂？

Answer 1

分析：易得l₂为直角边长为5和圆柱的底面周长的一半的直角三角形的斜边长；
把相关数值代入计算后，即可得到大小关系；
先把相关数值代入①即可得到h与r之间的关系，进而利用得到关系式可推出②③．

解答：解：l₂=

25+π2a2

cm；
当a=3时，（l₁）²=121；（l₂）²=25+9π²；∴l₁＞l₂，
当a=4时，（l₁）²=169；（l₂）²=25+16π²；
∴l₁＜l₂，
故答案为

25+π2a2

；＞；＜．
①（2r+h）²=h²+π²r²，
r=

4h

π2-4

；
②l₁²＜l₂²时，l₁＜l₂，
（2r+h）²＜h²+π²r²，
h＜

π2r-4r

4

，
③由②可得h＞

π2r-4r

4

时，l₁＞l₂．

点评：本题考查了平面展开-最短路径问题；比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便；注意运用类比的方法做类型题．