Question

已知：如图，BD、CE都是△ABC的高，在BD上截取BF，使BF=AC，在CE的延长线取一点G，使CG=AB．
①试探索线段AF和AG的关系，并说明理由；
②试探索线段AF和AG有何特殊的位置关系，试证明你的结论．

Answer 1

解：①AF=AG．
理由如下：
∵∠ABF+∠BAC=∠ACE+∠BAC=90°，
∴∠ABF=∠ACE．
在△ABF和△GCA中，

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG（全等三角形的对应边相等）．

②AF⊥AG．
证明：由①得：∠BAF=∠G（全等三角形的对应角相等）．
∵CG⊥AB，
∴∠G+∠GAE=90°．
∴∠GAE+∠BAF=90°．
即AF⊥AG．
分析：①由CG=AB，BF=AC，∠ABF+∠BAC=∠ACE+∠BAC，即∠ABF=∠ACE，可得△ABF≌△GCA，所以AF=AG．
②由①得∠BAF=∠G，因为∠G+∠GAE=90°，所以AF⊥AG．
点评：本题考查的是三角形全等的判定及全等三角形的应用，根据判定定理，已知条件求两三角形全等，缺什么，求什么，全等三角形的对应边，对应角对应相等，一定要注意应用．