【题目】如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
⑴求证:△ABF≌△ECF;⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
(1)先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC,AB=DC,故∠ABF=∠ECF,从而证得△ABF≌△ECF;
(2)由(1)得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形,通过角的关系得出FA=FE=FB=FC,AE=BC,得证.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,
∴∠ABF=∠ECF,
∵EC=DC,∴AB=EC,
在△ABF和△ECF中,
∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,
∴△ABF≌△ECF(AAS).
(2)∵AB=EC,AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴FA=FE,FB=FC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D,
又∵∠AFC=2∠D,
∴∠AFC=2∠ABC,
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF,
∴∠ABC=∠BAF,
∴FA=FB,
∴FA=FE=FB=FC,
∴AE=BC,
∴四边形ABEC是矩形.
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【题目】为迎接五一国际劳动节,某校团委组织了“劳动最光荣”有奖征文活动,并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品,其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件,三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍.各种奖品的单价如下表所示.如果计划一等奖买x件,买50件奖品的总钱数是w元.
(1)求w与x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)请你计算一下,如何购买这三种奖品所花的总钱数最少?最少是多少元?
一等奖 | 二等奖 | 三等奖 |
12元 | 10元 | 5元 |
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【题目】如图,长方形ABCD是由六个正方形组成的完美长方形,中间最小正方形的面积是1,最大正方形的边长为x.
(1)用x的代数式表示长方形ABCD的长是______或______、宽是______;
(2)求长方形ABCD的面积.
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【题目】★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则称这两个扇形相似.如图,如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形,且半径OA∶O1A1=k(k为不等于0的常数).那么下面四个结论:①∠AOB=∠A1O1B1;②△AOB∽△A1O1B1;③=k;④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2.成立的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】直线 AB∥CD,直线 a 分别交 AB、CD 于点 E、F,点 M 在线段 EF 上,点 P 是 直线 CD 上的一个动点(点 P 不与点 F 重合).
(1)如图 1,当点 P 在射线 FC 上移动时,∠FMP+∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系? 请说明理由;
(2)如图 2,当点 P 在射线 FD 上移动时,∠FMP+∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系? 请说明理由.
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【题目】如图,已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等,且BAD=60°,
CFE=110°,则下列结论:①四边形ABFE为平行四边形;②
ADE是等腰三角形;③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等;④
DAE=25°.其中正确的结论是.__________(填正确结论的序号)
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【题目】已知,如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G,交BC的延长线于F.
(1)求证:AE=BE;
(2)求证:FE是⊙O的切线;
(3)若FE=4,FC=2,求⊙O的半径及CG的长.
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【题目】国家规定,中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时,为了解这项政策的落实情况,有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题,在某校随机抽查了部分学生,再根据活动时间t(小时)进行分组(A组:t<0.5,B组:0.5≤t<1,C组:1≤t<1.5,D组:t≥1.5),绘制成如下两幅不完整统计图,请根据图中信息回答问题:
(1)此次抽查的学生数为 人;
(2)补全条形统计图;
(3)从抽查的学生中随机询问一名学生,该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是 ;
(4)若当天在校学生数为1200人,请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有 人.
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