Question

1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点A，D，C在同一直线上，直线CE交BD于F，连接AF，点M，N分别是BD，CE的中点，有下列说法：①BD=CE；②CF⊥BD；③AF平分∠DFC；④△AMN是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 通过证明△ABD≌△ACE，即可得出BD=CE，①正确；得出∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，由角的互余关系证出∠DFC=90°，得②正确；
作AG⊥BD于G，作AH⊥CF于H，证出矩形AGFH是正方形，得出AF平分∠DFC，③正确；
由直角三角形斜边上的中线性质证出AM=AN，再证出∠MAN=90°，④正确．

解答 解：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE（①正确），
∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠ACE=90°，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥BD（②正确）；
作AG⊥BD于G，作AH⊥CF于H，如图所示：
则四边形AGFH是矩形，
在△ADG和△ANH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠AHE=90°}&{\;}\\{∠ADG=∠AEH}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
△ADG≌△ANH（AAS），
∴AG=AH，
∴矩形AGFH是正方形，
∴AF平分∠DFC（③正确）；
∵点M，N分别是BD，CE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$BD=BM，AN=$\frac{1}{2}$CE=EN，
∴AM=AN，∠MAB=∠ABD，∠NAE=∠AEC，
∵∠ABD=∠ACE，∠ACE+∠NAE=90°，
∴∠MAB+∠NAE=90°，即∠MAN=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线性质、正方形的判定方法；证明三角形全等是解决问题的关键．