Question

13．设△ABC的外接圆O上的劣弧$\widehat{BC}$的中点为K，优弧$\widehat{BC}$的中点为S，线段AK与边BC交于点D，点E，F分别为△ACD，△ABD的外心．试证：A，E，O，F，S五点共圆．

Answer 1

分析 如图，连接SB、SC、SK、AS、OA，作AB的垂直平分线交SB于F′，连接AF′，DF′，作AC的垂直平分线交SC于E′，连接AE′，设AB交SK于G．首先证明A，E′，O，F′，S五点共圆，再利用重合法证明点F′是△ABD的外心，点E′是△ADC的外心，推出F与F′重合，E与E′重合，即可解决问题．

解答 证明：如图，连接SB、SC、SK、AS、OA，作AB的垂直平分线交SB于F′，连接AF′，DF′，作AC的垂直平分线交SC于E′，连接AE′，设AB交SK于G．

∵劣弧$\widehat{BC}$的中点为K，优弧$\widehat{BC}$的中点为S，
∴SK经过圆心O，
∵F′B=F′A，OK=OA，
∴∠F′BA=∠F′AB，∠K=∠OAK，
∵∠SF′A=2∠F′BA，∠SOA=2∠K，
∴∠SF′A=∠SOA，
∴S、F′、O、A四点共圆，同理可证S、O、E′、A四点共圆，
∴A，E′，O，F′，S五点共圆，
∴∠SAF′=∠SOF′，
∵∠SOF′+∠BGO=90°，∠BGO+∠ABC=90°，
∴∠SOF′=∠ABC=∠ASC=∠SAF′，
∵∠AF′S=∠SE′A，AS=SA，
∴△SAF′≌△SAE′，
∴AF′=AE′，
∵∠F′BA=∠F′AB=∠ACE′=∠CAE′，
∴△AF′B∽△AE′C，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BF′}{AE′}$=$\frac{BF′}{SF′}$，
∵$\widehat{BK}$=$\widehat{CK}$，
∴∠BAD=∠DAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF′}{SF′}$，
∴DF′∥SC，
∴∠F′DB=∠SCB，
∵SB=SC，
∴∠F′BD=∠SCB=∠F′DB，
∴F′B=F′D=F′A，
∴点F′是△ABD的外心，同理可证E′是△ADC的外心，
∴F与F′重合，E与E′重合，
∴A，E，O，F，S五点共圆．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质、三角形的外心与外接圆、平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用重合法解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，属于竞赛题．