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【题目】已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC的角平分线交AC于E,AD⊥BE于D,求证:AD= BE.

【答案】解:如图延长AD和BC交于F,

∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=45°,

∴∠ABC=45°=∠BAC,

∴AC=BC,

∵∠ACB=90°,

∴∠BCE=∠ACF=90°,

∵BE平分∠ABC,

∴∠ABD=∠EBC,

∵BD⊥AD,

∴∠BCE=∠ADE=90°,

∵∠BEC=∠AED,

∴根据三角形内角和定理得:∠DAE=∠CBE,

在△BCE和△ACF中,

∴△BCE≌△ACF(SAS),

∴BE=AF,

在△ABD和△FBD中,

∴△ABD≌△FBD(ASA),

∴AD=DF,

即AF=2AD,

∴AD= AF,

∴AD= BE.


【解析】延长AD,BC相交于F,先判断△BCE和△ACF全等,再判断△ABD和△FBD全等,利用全等三角形的性质进行求解,解此题的关键是求出BE=AF和AD=DF。

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