Question

3．如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC的顶点B和△DEF的顶点与E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是∠AFD=∠DCA．
（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，连接AF，CD，试证△ABF≌△DEC．
（3）在图③中，（1）中的结论还成立吗？连接BO、AD，BO与AD之间有怎样的位置关系？请分别说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，然后整理即可得解；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AB=DE，BC=EF，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，然后推出∠ABF=∠DEC，利用边角边证明△ABF与△DEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，再推出∠FAC=∠CDF，然后利用三角形的外角性质列式即可得证；
（3）可以证明AO=DO，根据到线段两端点距离的点在线段垂直平分线得到BO⊥AD．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
又∵∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
故答案为：∠AFD=∠DCA；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，
即∠ABF=∠DEC，
在△ABF与△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEC}\\{BF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；

（3）（1）中的结论还成立，
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，
∴∠ABF=∠DEC，
在△ABF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEC}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=CD，∠BAF=∠BDC，
∵∠BAC=∠BDF，
∴∠FAO=∠CDO，
在△AFO与△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠CDO}\\{∠AOF=∠DOC}\\{AF=DC}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△DCO，
∴∠AFD=∠DCO，AO=DO，
∴BO⊥AD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，找出两三角形全等的条件是解题的关键．