Question

7．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线CD经过直角顶点C，分别过点A、点B作CD的垂线，垂足分别为E，D
（1）如图1，当直线CD与线段AB不相交时，若AE=4.8，BD=1.7，求DE的长；
（2）直线CD与线段AB相交时，题中的其他条件不变，请你先在备用图中画出图形，再限据（1）的解题经验，提出一个更一般的问题，并解决之．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠AEC=∠BDC=90°，由余角的性质得到∠BCD=∠EAC，推出△BDC≌△CEA，根据全等三角形的性质得到CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，于是得到DE=4.8+1.7=6.5；
（2）根据已知条件得到∠AEC=∠BDC=90°，由余角的性质得到∠BCD=∠EAC，推出△BDC≌△CEA，根据全等三角形的性质得到CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，于是得到DE=CD-CE=4.8-1.7=3.1．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△BDC与△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠EAC}\\{∠BDC=∠AEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA，
∴CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，
∴DE=4.8+1.7=6.5；

（2）∵∠ACB=90°，AE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△BDC与△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠EAC}\\{∠BDC=∠AEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA，
∴CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，
∴DE=4.8+1.7=6.5；
∴DE=CD-CE=4.8-1.7=3.1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．