Question

12．如图，在△ABC中，∠B=60°．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点D、E，分别以点D、E为圆心，以大于$\frac{1}{2}$DE长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线AF与BC相交于点M；
（1）求证：∠BAM=∠CAM．
（2）作△ABC的角平分线CN交AM于G，求证：GM=GN．

Answer 1

分析 （1）连接QF、WF，根据SSS推出即可；
（2）过G作GZ⊥AB于Z，GP⊥BC于P，GO⊥AC于O，求出∠GZN=90°，GZ=GP=GO，∠GZB=∠GPB=90°，∠ZGP=120°，根据角平分线定义和三角形内角和定理求出∠NGM=∠AGC=120°，求出∠ZGN=∠MGP，根据ASA推出△ZGN≌△PGM即可．

解答 证明：（1）连接QF，WF，
由作法可知：AQ=AW，QF=WF，
∵在△AQF和△AWF中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AW}\\{AF=AF}\\{FQ=FW}\end{array}\right.$
∴△AQF≌△AWF（SSS），
∴∠BAM=∠CAM；

（2）过G作GZ⊥AB于Z，GP⊥BC于P，GO⊥AC于O，
∵△ABC的角平分线CN交AM于G，
∴∠GZN=90°，GZ=GP=GO，∠GZB=∠GPB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠ZGP=360°-90°-90°-60°=120°，
∵△ABC的角平分线CN交AM于G，∠B=60°，
∴∠GAC+∠GCA=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}×$（180°-60°）=60°，
∴∠NGM=∠AGC=180°-60°=120°，
即∠NGM=∠ZGP=120°，
∴都减去∠ZGM得：∠ZGN=∠MGP，
在△ZGN和△PGM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GZN=∠GPM=90°}\\{GZ=GP}\\{∠ZGN=∠MGP}\end{array}\right.$
∴△ZGN≌△PGM（ASA），
∴GM=GN．

点评 本题考查了角平分线定义及性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．