Question

4．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，DC=14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙），此时AB与 CD₁交于点O，则线段AD₁的长为（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 10
• C． 8
• D． $\sqrt{31}$

Answer 1

分析 先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD₁=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD₁然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD₁=30°+15°=45°，
又∵∠A=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6，AB⊥CO，
∵DC=14，
∴D₁C=DC=14，
∴D₁O=14-6=8，
在Rt△AOD₁中，AD₁=$\sqrt{A{D}^{2}+{D}_{1}{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
故选：B．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．