Question

18．如图，边长为6的等边三角形ABC中，D是AB边上的一动点，由A向B运动（A、B不重合），F是BC延长线上的一动点，与D同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（与C不重合），过点D作DE⊥AC，连接DF交AC于G．
（1）当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；
（2）当DF⊥AB时，求AD的长；
（3）在运动过程中线段GE的长是否发生变化？如果不变，求出线段GE的长；如果发生改变请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点D运动到AB的中点时，于是得到AD=$\frac{1}{2}$AB=3，根据等边三角形的性质得到∠A=60°，求得∠ADE=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）由点D、F同时运动且速度相同，得到AD=CF，求出∠AGD=∠CGF=30°，∠F=30°，于是得到CF=CG=AD，设AD=CG=CF=x，则AG=2x，列方程即可得到结论；
（3）当点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变．理由如下：作FQ⊥AC，交直线AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，由点D、F速度相同，得到AD=CF，根据等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠QCF=60°，推出△ADE≌△CFQ（AAS），根据全等三角形的性质得到AE=CQ，DE=QF且DE∥QF，证得四边形DEFQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GE=$\frac{1}{2}$EQ，推出GE=$\frac{1}{2}$AC，即可得到结论．

解答 解：（1）点D运动到AB的中点时，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB=3，∠A=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$；

（2）∵点D、F同时运动且速度相同，
∴AD=CF，
∵DF⊥AB，∠A=60°，
∴∠AGD=∠CGF=30°，
∵∠B=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CGF=∠F，
∴CF=CG=AD，
设AD=CG=CF=x，则AG=2x，
∴AG+CG=2x+x=3x=6，
∴x=2，
∴AD=2；

（3）当点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变．理由如下：
作FQ⊥AC，交直线AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，
又∵DE⊥AB于E，
∴∠GQF=∠AED=90°，
∵点D、F速度相同，
∴AD=CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠QCF=60°，
在△ADE和△CFQ中，
∵∠AED=∠CQF=90°，
∴∠AED=∠CQF，
在△ADE和△CQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CQF}\\{∠A=∠QCF}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFQ（AAS），
∴AE=CQ，DE=QF且DE∥QF，
∴四边形DEFQ是平行四边形，
∴GE=$\frac{1}{2}$EQ，
∵EC+AE=CE+CQ=AC，
∴GE=$\frac{1}{2}$AC，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴GE=3，
∴点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．