Question

7．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的非常距离为|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的非常距离为|y₁-y₂|；
例如：点P₁（1，2），点P₂（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P₁与点P₂的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q的交点）．

（1）已知点A（$-\frac{1}{2}$，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．
（2）已知C是直线$y=\frac{3}{4}x+3$上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）①根据题意，设点B的坐标是（0，b），根据点A与点B的“非常距离”为2，可得|0-b|=2，据此求出b的值，即可求出满足条件的点B的坐标．
②根据题意，设点B的坐标是（0，b），判断出当|b|≤$\frac{1}{2}$时，点A与点B的“非常距离”的最小值是$\frac{1}{2}$即可．
（2）①设点C的坐标是（a，$\frac{3}{4}a+3$），分三种情况讨论：Ⅰ、当a≥0时；Ⅱ、当a≤-4时；Ⅲ、当-4＜a＜0时；求出点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标即可．
②设点C的坐标是（a，$\frac{3}{4}a+3$），分三种情况讨论：Ⅰ、当a≥0时；Ⅱ、当a≤-4时；Ⅲ、当-4＜a＜0时；判断出当点E在过原点且与直线y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，据此求出点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标即可．

解答 解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标是（0，b），
∵点A与点B的“非常距离”为2，|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$，
∴|0-b|=2，
解得b=2或b=-2，
∴满足条件的点B的坐标是（0，-2）或（0，2）．

②∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标是（0，b），
∵|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$，
∴当|b|≤$\frac{1}{2}$时，点A与点B的“非常距离”的最小值是$\frac{1}{2}$．

（2）①如图2，，
设点C的坐标是（a，$\frac{3}{4}a+3$），
Ⅰ、当a≥0时，
∵点A的坐标是（0，3），点D的坐标是（0，1），
∴点C与点D的“非常距离”的最小值是：|3-1|=2；
Ⅱ、当a≤-4时，
∵点B的坐标是（-4，0），点D的坐标是（0，1），
∴点C与点D的“非常距离”的最小值是：|-4|=4；
Ⅲ、当-4＜a＜0时，
当CE=DE时，点C与点D的“非常距离”最小，
此时$\frac{3}{4}a+3$-1=-a，
解得a=-$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{3}{4}a+3$=$\frac{3}{4}×（-\frac{8}{7}）+3=\frac{15}{7}$，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值是$\frac{8}{7}$，点C的坐标是（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）．
综上，可得
点C与点D的“非常距离”的最小值是$\frac{8}{7}$，点C的坐标是（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）．

②如图3，，
设点C的坐标是（a，$\frac{3}{4}a+3$），点E的坐标是（x，y），
Ⅰ、当c≥0时，
∵点A的坐标是（0，3），圆与y轴的正半轴交点的坐标是（0，1），
∴点C与点D的“非常距离”的最小值是：|3-1|=2；
Ⅱ、当c≤-4时，
∵点B的坐标是（-4，0），圆与x轴的负半轴交点的坐标是（-1，0），
∴点C与点D的“非常距离”的最小值是：|-4-（-1）|=3；
Ⅲ、当-4＜a＜0时，
当点E在过原点且与直线y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
由$\frac{3}{4}a+3$-$\frac{4}{5}$=-$\frac{3}{5}-a$，
解得a=-$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{3}{4}a+3$=$\frac{3}{4}×（-\frac{8}{5}）+3=\frac{9}{5}$，
∵$\frac{9}{5}-\frac{4}{5}=1$，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值是1，点E的坐标是（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），点C的坐标是（-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了对“非常距离”的含义的理解，要熟练掌握，并能求出两点之间的“非常距离”．