Question

如图，抛物线y=

1

2

（x-3）²-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；
（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；
（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ²=EP²-1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP²最小．利用二次函数性质求出EP²最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．

解答：（1）解：顶点D的坐标为（3，-1）．
令y=0，得

1

2

（x-3）²-1=0，
解得：x₁=3+

2

，x₂=3-

2

，
∵点A在点B的左侧，
∴A（3-

2

，0），B（3+

2

，0）．

（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，-1），GD=3．

令x=0，得y=

7

2

，
∴C（0，

7

2

）．
∴CG=OC+OG=

7

2

+1=

9

2

，
∴tan∠DCG=

2

3

．
设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3-（3-

2

）=

2

．
由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．
∴tan∠EOM=tan∠DCG=

EM

OM

=

2

3

，
解得EM=2，
∴DE=EM+DM=3．
在Rt△AEM中，AM=

2

，EM=2，由勾股定理得：AE=

6

；
在Rt△ADM中，AM=

2

，DM=1，由勾股定理得：AD=

3

．
∵AE²+AD²=6+3=9=DE²，
∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．
设AE交CD于点F，
∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），
∴∠AEO=∠ADC．

（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：

由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ²=EP²-1，
要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP²最小．
设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP²=（x-3）²+（y-2）²．
∵y=

1

2

（x-3）²-1，
∴（x-3）²=2y+2．
∴EP²=2y+2+（y-2）²=（y-1）²+5
当y=1时，EP²有最小值，最小值为5．
将y=1代入y=

1

2

（x-3）²-1，得

1

2

（x-3）²-1=1，
解得：x₁=1，x₂=5．
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，
∴x₁=1舍去．
∴P（5，1）．
∵△EQ₂P₃为直角三角形，
∴过点Q₂作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．
由切割线定理得到Q₂P=Q₁P=2，EQ₂=1
设点Q₂的坐标为（m，n）
则在Rt△MQ₂E和Rt△Q₂NP中建立勾股方程，即（m-3）²+（n-2）²=1①，（5-m）²+（n-1）²=4②
①-②得n=2m-5③
将③代入到①得到
m₁=3（舍，为Q1）
m₂=

19

5

再将m=

19

5

代入③得n=

13

5

，
∴Q₂（

19

5

，

13

5

）
此时点Q坐标为（3，1）或（

19

5

，

13

5

）．

点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP²最小值的问题，注意解答中求EP²最小值的具体方法．