Question

在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．
（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；
（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；
（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为

 

；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为

 

（用含α的式子表示）．

Answer 1

考点：勾股定理,平移的性质

专题：

分析：（1）把A、D向右平移BC的距离即可得到对应点F、E，然后连接EF、FC、EC即可；
（2）易证四边形ABCF为矩形，则AC=BF，在直角△BEF中，利用勾股定理即可求解；
（3）当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，再求出∠BAD．

解答：解：（1）如图，

（2）连接BF．
∵将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，
∴AD∥EF，AD=EF；AB∥FC，AB=FC．

∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCF为矩形．
∴AC=BF．
∵AD⊥BE，
∴EF⊥BE．
∵AD=a，AC=b，
∴EF=a，BF=b．
∴BE=

b2-a2

．
（3）①如图，当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，

∵四边形ABCF是矩形，∠BAC=α，
∴∠BFC=α，
∴∠EFC=180°-α．
∴∠BAD=180°-α．
②如图，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，

∵四边形ABCF是矩形，∠BAC=α，
∴AC=BF，且互相平分，
∴∠BAC=∠ABF，∠BFC=∠ACF，
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BAC=∠ABF=∠BFC=∠ACF，
∴∠BFC=∠BAC=α，
∴∠BAD=α．
故答案为：180°-α，α．

点评：本题主要考查勾股定理及图形平移的性质，一定要掌握图形平移后边的大小，形状不变．