Question

已知PA，PB切⊙O于点A，B，∠APB=40°．点C在⊙O上（点C异于A，B点），则∠ACB=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：①连接AB．根据切线长定理和弦切角定理求解．
②由于已知中已知角∠APB=40°，且PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，我们可以连接OA、OB，借助∠AOB为中间角，探寻中间角与已知角和未知角的关系，从而求解．

解答：解：①如图1，连接AB，由切线长定理知AP=BP，
则∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB）÷2=（180°-∠40）÷2=70°，
由弦切角定理知，∠C=∠PAB=70°，
若C点在劣弧AB上，则根据圆内接四边形的性质知，∠C=180°-70°=110°；
②如图2，解：连接OA、OB，在优弧AB取点C′，连接AC′，BC′，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠APB=180°-∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=180°-40°=140°，
∴∠AC′B=

1

2

×140°=70°，
∵∠ACB+∠AC′B=180°，
∴∠ACB=110°．
综上所述，∠ACB=110°．
故答案是：110°．

点评：本题考查的是切线的性质定理，四边形的对角互补以及圆周角是对应圆心角的一半的性质，解题时，要注意对点C的不同位置进行分类讨论．