Question

1．如图，已知菱形ABCD，点P、Q在直线BD上，点P在点Q左侧，AP∥CQ．
（1）如图1，当∠ABC=90°，点P、Q在线段BD上时，求证：BP+BQ=$\sqrt{2}$BA；
（2）如图2，当∠ABC=60°，点P在线段DB的延长线上时，试探究BP、BQ、BA之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质证明△ABP≌CDQ即可，证明菱形ABCD为正方形，得到BD=$\sqrt{2}$BA，得到答案；
（2）连接AC交BD于点H，证明BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BA，又BP=DQ，得到答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABP=∠CDQ．
∵AP∥CQ，
∴∠APD=∠CQB．
∴∠APB=∠CQD．
在△ABP和CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠CQD}\\{∠ABP=∠CDQ}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（AAS）．
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°．
∴在Rt△ABD中，BD=$\frac{BA}{cos45°}$=$\sqrt{2}$BA，
由△ABP≌△CDQ，则BP=DQ，
∴BP+BQ=DQ+BQ=BD．
∴BP+BQ=$\sqrt{2}$BA．

（2）BP、BQ、BA之间的数量关系是BQ-BP=$\sqrt{3}$BA．
理由如下：如图2，连接AC交BD于点H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，∠AHB=90°，BD=2BH．
∴BH=AB•cos∠ABH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BA，
由（1）得  BP=DQ，
∴BQ-BP=BQ-DQ=BD=$\sqrt{3}$BA．

点评 本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直和锐角三角函数的概念是解题的关键，注意确定三角形的性质和判定的灵活运用．