Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t=2时，求△POQ的面积．
（2）在运动过程中，PQ的长度能否为4cm？试说明理由．
（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）求出OP、OQ的长，即可根据三角形面积公式计算即可．
（2）设t秒时，PQ的长度为4cm，在RT△POQ中，根据OP²+OQ²=PQ²，得到t²+（6-t）²=4²，即t²-6t+10=0，利用根的判别式判断即可．
（3）分两种情形讨论即可①若△POQ∽△AOB时，得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，②若△POQ∽△BOA时，得$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，分别解方程即可．

解答 解：（1）当t=2时，OP=2cm，OP=6-2=4cm，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•OP•OQ=4cm²．

（2）设t秒时，PQ的长度为4cm，
在RT△POQ中，OP²+OQ²=PQ²，
即t²+（6-t）²=4²，
化简得：t²-6t+10=0，
∵△＜0，
∴原方程无解
∴PQ的长度不能为4cm．
                      
（3）∵OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，
∴OQ=（6-t）cm，
∵点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，
∴OP=t（cm），
若△POQ∽△AOB时，
则有$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{t}{12}$，
整理得：12-2t=t，
解得：t=4，
则当t=4时，△POQ与△AOB相似；                 
若△POQ∽△BOA时，
则有$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{t}{6}$，
解得：t=2，
则当t=2时，△POQ与△BOA相似；                 
综上所述：当t=4s或2s时，△POQ与△AOB相似；

点评 本题考查相似三角形综合题、三角形面积问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．