Question

3．求所有的质数p，使4p²+1和6p²+1都是质数．

Answer 1

分析 分p=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k为正整数）讨论，根据p、4p²+1和6p²+1都是质数找出符合题意p的值，综上即可得出结论．

解答 解：分p=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k为正整数）讨论．
当p=5k时，只有k=1，p=5时，为质数，
此时4p²+1=4×25+1=101为质数，6p²+1=6×25+1=151也为质数；
当p=5k+1时，4p²+1=4×（5k+1）²+1=100k²+40k+5=5（20k²+8k+1）能被5整除，
∴p=5k+1不合适；
当p=5k+2时，6p²+1=6×（5k+2）²+1=150k²+120k+25=5（30k²+24k+5）能被5整除，
∴p=5k+2不合适；
当p=5k+3时，6p²+1=6×（5k+3）²+1=150k²+180k+55=5（30k²+36k+11）能被5整除，
∴p=5k+3不合适；
当p=5k+4时，4p²+1=4×（5k+4）²+1=100k²+160k+65=5（20k²+32k+13）能被5整除，
∴p=5k+4不合适．
综上可知：当p=5时，4p²+1和6p²+1都是质数．

点评 本题考查了质数与合数，分p=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k为正整数）五种情况讨论是解题的关键．