Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在线段DA上运动时，连接BD，若∠ABP=∠ADB，求t的值；
（2）当点P在线段DA上运动时，若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，求t的值；
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知动点P和动点Q的速度，可以用t表示出DP和AP，由∠ABP=∠ADB，∠A=∠A可得到△ABP∽△ADB，即AB²=AD•AP，把已知数据和含t的代数式代入得到关于t的一元一次方程，从而求出t的值．
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得直角三角形BHA，由已知AH=AD-BC，根据勾股定理求出BH，设BQ中点为O₁、AP中点为O₂即两个圆的圆心，再过O₁作O₁I⊥AD，垂足为I，连接O₁O₂，得直角三角形O₁IO₂，由已知得出O₁I，以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，所以O₁O₂=BO₁+AO₂，由已知O₂I=DO₂-DI，在直角三角形O₁IO₂个边已求出，把求出的含t的代数式代入
O₁O₂²=O₁I²+O₂I²，得关于t的一元二次方程，从而求出t．
（3）假设能为等腰三角形，可通过等腰三角形求出符合的t的值．

解答：解：（1）已知动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度，
可得：DP=2t，AP=18-2t，
∵∠ABP=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AP

AB

，
即AB²=AD•AP，
∴10²=18×（18-2t），
解得：t=

56

9

．
∵

56

9

＜9，
∴t=

56

9

．

（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得BH=8，
记BQ中点为O₁、AP中点为O₂，连接O₁O₂，
过点O₁作O₁I⊥AD，垂足为I，则O₁I=BH=8，
BO1=

t

2

，CO1=12-

t

2

，AO2=

18-2t

2

=9-t，
DO₂=9+t，
∴O2I=|(9+t)-(12-

t

2

)|=|

3t

2

-3|，
当O1O2=BO1+AO2=

t

2

+(9-t)=9-

t

2

时
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，在Rt△O₁IO₂中，O₁O₂²=O₁I²+O₂I²，
即(9-

t

2

)2=82+(

3t

2

-3)2，整理得：t²=4，
∵t＞0，
∴t=2；

（3）能，
①当EP=EA时，∠EPA=∠A，
此时四边形QPAB是等腰梯形，
∴BQ=PA-12，
∴t=18-2t-12，
∴t=2；
②当EP=PA时，
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t，
EQ=BQ=t，
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t，
∵PQ²=PM²+QM²，
∴（18-3t）²=（12-3t）²+64，
解得：t=

29

9

；
③当AE=AP时，
∵AB=10，
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t，
∵

QB

PA

=

EB

EA

，
即

t

18-2t

=

8-2t

18-2t

，
解得：t=

8

3

；
④当点P在DA延长线上
AP=AE（钝角三角形）
AP=2t-18，
AE=10-t
2t-18=10-t
解得：t=

28

3

t的值可以是t=

29

9

或t=

8

3

或t=2或

28

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质、直角梯形和切线的性质，解答此题的关键一是通过相似形求t的值，再是通过作辅助线得直角三角形根据勾股定理列方程求t的值．第三是由等腰三角形计算出符合条件的t的值．